Question

17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点M，N从点C同时出发，分别沿CA、CB方向匀速运动，速度都为1cm/s；同时，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度都为2cm/s，连接PM，PN，设时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）设四边形APNC的面积为y（m²），求y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使y有最小值？若存在，求y的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求得AB=5cm，分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况，利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；
（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“y=S_△ABC-S_△BPH”列出y与t的关系式y=$\frac{4}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{5}$（0＜t＜2.5）；
（3）利用（2）的结论，由二次函数最值的求法即可得到y的最小值．

解答 解：（1）∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴根据勾股定理，得$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=5cm，
以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{5-2t}{4}$=$\frac{4-t}{5}$，
解得t=$\frac{3}{2}$；
②当△APM∽△ABC时，$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{4-t}{4}$=$\frac{5-2t}{5}$，
解得t=0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t=$\frac{3}{2}$时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；

（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
∴$\frac{PH}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{PH}{4}$=$\frac{2t}{5}$，
∴PH=$\frac{8}{5}t$，
∴y=S_△ABC-S_△BPN，
=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×（3-t）•$\frac{8}{5}$t，
=$\frac{4}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{5}$，（0＜t＜2.5）；

（3）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积y有最小值．理由如下：
由（2）知y═$\frac{4}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{5}$（0＜t＜2.5），
∵$\frac{4}{5}$＞0，
∴y有最小值．
当t=$\frac{3}{2}$时，y_最小值=$\frac{21}{5}$．
答：当t=$\frac{3}{2}$时，四边形APNC的面积y有最小值，其最小值是$\frac{21}{5}$．

点评 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式，解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解，另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，找准对应边是解答此题的关键．