Question

8．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC交⊙O于点D，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD为⊙O的切线．

Answer 1

分析 由切线的性质得∠CBO=90°，首先连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线．

解答 证明：连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠CBO=90°，
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=DO}\\{∠COD=∠COB}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．

点评 本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．