Question

7．观察下列等式：
①$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；
②$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
③$\frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{3}}}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$；
…
回答下列问题：
（1）仿照上列等式，写出第n个等式：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）利用你观察到的规律，化简：$\frac{1}{2\sqrt{3}+\sqrt{11}}$；
（3）计算：$\frac{1}{{1+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+2}}+…+\frac{1}{{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}}$．

Answer 1

分析 （1）仿照以上等式，写出第n个等式即可；
（2）利用得出的规律化简原式即可；
（3）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果．

解答 解：（1）第n个等式为$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）原式=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{11}}{（2\sqrt{3}+\sqrt{11}）（2\sqrt{3}-\sqrt{11}）}$=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{11}$；
（3）原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$=$\sqrt{2016}$-1=12$\sqrt{14}$-1．
故答案为：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$

点评 此题考查了分母有理化，找出题中的规律是解本题的关键．