Question

7．如图，在等腰三角形ABC中，点P、Q分别为线段BC、CA上的动点，点P从点B出发沿BC方向运动，点Q从点C出发沿CA方向运动，两点同时以2cm/s的速度从B、C出发，当P到达C或Q到达A时停止运动，已知D为AB的中点，AB=AC=10cm，BC=8cm，设运动时间为t（s）．
（1）经过1.5秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）①当t为2.5s时，四边形ADPQ是菱形；
②当t为$\frac{20}{7}$或$\frac{8}{7}$s时，△PCQ为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）经过1.5秒后，BP=CQ=3，则CP=BD=5，又由AB=AC得出∠B=∠C，根据SAS即可证明△BPD与△CQP全等；
（2）①如果四边形ADPQ是菱形，那么AD=AQ，即10-2t=5，即可求出t的值；
②由于∠C≠90°，所以分两种情况进行讨论：Ⅰ）∠CPQ=90°，由cos∠C=$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AC}$，求出t的值；Ⅱ）∠CQP=90°，由cos∠C=$\frac{CQ}{CP}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AC}$，求出t的值．

解答 解：（1）经过1.5秒后，BP=CQ=1.5×2=3，
则CP=BC-BP=8-3=5．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
在△BPD与△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}\\{∠B=∠C}\\{BD=CP}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；

（2）①∵四边形ADPQ是菱形，
∴AD=AQ，即10-2t=5，
解得t=2.5；

②分两种情况进行讨论：
Ⅰ）∠CPQ=90°，
∵cos∠C=$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AC}$，
∴$\frac{8-2t}{2t}$=$\frac{4}{10}$，
解得t=$\frac{20}{7}$，符合题意；
Ⅱ）∠CQP=90°，
∵cos∠C=$\frac{CQ}{CP}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AC}$，
∴$\frac{2t}{8-2t}$=$\frac{4}{10}$，
解得t=$\frac{8}{7}$，符合题意．
故t为$\frac{20}{7}$或$\frac{8}{7}$s时，△PCQ为直角三角形．
故答案为2.5；$\frac{20}{7}$或$\frac{8}{7}$．

点评 本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定，等腰三角形、直角三角形的性质，锐角三角函数的定义．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．