Question

3．某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是，杯口直径AB=6cm，杯底直径CD=4cm，杯壁母线AC=BD=6cm，请你和他们一起解决下列问题：
（1）小颖同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到的图形是圆环的一部分．

①图2中弧EF的长为6πcm，弧MN的4πcm，ME=NF=6cm；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧MN所在圆的圆心O，如图3所示，小颖同学发现若将弧EF、MN近似地看做线段，类比相似三角形的性质可得$\frac{弧EF的长}{弧MN的长}$=$\frac{OF}{ON}$，请你帮她证明这一结论．
③根据②中的结论，求弧MN所在圆的半径r及它所对的圆心角的度数n．
（2）小颖同学计划利用矩形，正方形纸各一张，分别按如图4和图5所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长．

Answer 1

分析 （1）①根据圆的周长公式即可得出结论；
②设弧MN所在圆的半径为r，所对的圆心角度数为n，再根据弧长公式得出$\widehat{MN}$与$\widehat{EF}$的长，求出其比值即可；
③根据②中的结论求出r的值，再由①中两弧长即可得出n的值．
（2）延长EM交FN于点O，根据∠MON=60°得出△MON和△EOF是等边三角形，故可得出长方形的长，设RS与$\widehat{EF}$交于点P，OP交ZX于点Q，在Rt△OQN中，根据∠QON=30°，OQ=ON•cos30°，故可得出长方形的宽，设正方形边长为xcm，在Rt△BEF中根据勾股定理即可得出x的值．

解答 解：（1）①∵直径AB=6cm，杯底直径CD=4cm，杯壁母线AC=BD=6cm，
∴杯口圆的半径为3cm，杯底圆的半径为2cm，
∴$\widehat{EF}$的长=2×3π=6πcm，$\widehat{MN}$的长=2×2π=4πcm，ME=NF=AC=6cm．
故答案为：6π，4π，6；

②设弧MN所在圆的半径为r，所对的圆心角度数为n，则 $\widehat{MN}$的长度=$\frac{nπr}{180}$，$\widehat{EF}$ 的长=$\frac{nπ（r+FN）}{180}$，
所以$\frac{\widehat{EF}}{\widehat{MN}}$=$\frac{\frac{nπ（r+FN）}{180}}{\frac{nπr}{180}}$=$\frac{r+FN}{r}$=$\frac{ON+NF}{ON}$=$\frac{OF}{ON}$，

③由②得，$\frac{\widehat{EF}}{\widehat{MN}}$=$\frac{OF}{ON}$，即$\frac{6π}{4π}$=$\frac{r+6}{r}$，解得r=12，
∵$\widehat{MN}$的长=$\frac{nπr}{180}$，
∴$\frac{nπ×12}{180}$=4π，解得n=60，
即弧MN所在圆的半径r等于12cm，及它所对的圆心角的度数为60°；

（2）延长EM交FN于点O，
∵∠MON=60°，
∴△MON和△EOF是等边三角形，
∴EF=长方形的长=12+6=18，
设RS与$\widehat{EF}$ 交于点P，OP交ZX于点Q，连接OP，
∴OQ⊥MN，MQ=QN，
在Rt△OQN中，∠QON=30°，OQ=ON•cos30°=6$\sqrt{3}$，
∴长方形的宽=（18-6$\sqrt{3}$ ）cm，
∵设正方形边长为xcm，
∴在Rt△AOE中，AO²+AE²=OE²，
∵OE=18，
∴BE=BF=9$\sqrt{2}$，
即x²+（x-9$\sqrt{2}$ ）²=18²，
化简得，x²-9$\sqrt{2}$ x-81=0，
解得x=$\frac{9}{2}$（$\sqrt{2}$$±\sqrt{6}$），
∵x＞0，
∴x=$\frac{9}{2}$（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$），
∴正方形边长为 $\frac{9}{2}$（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）cm．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到弧长的计算、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，难度适中，关键是理解题意，搞清楚弧长与底面圆的周长之间的关系是解题的关键．