Question

15．如图，射线BD是∠MBN的平分线，点A、C分别是角的两边BM、BN上两点，且AB=BC，E是线段BC上一点，线段EC的垂直平分线交射线BD于点F，连结AE交BD于点G，连结AF、EF、FC．
（1）求证：AF=EF；
（2）求证：△AGF∽△BAF；
（3）若点P是线段AG上一点，连结BP，若∠PBG=$\frac{1}{2}$∠BAF，AB=3，AF=2，求$\frac{EG}{GP}$．

Answer 1

分析 （1）由于EF=CF，要证AF=EF，只需证FA=FC，只需证△ABF≌△CBF即可；
（2）由于∠AFG=∠BFA，要证△AGF∽△BAF，只需证∠FAE=∠ABF，易得∠FAE=∠FEA，∠ABF=∠CBF，只需证∠ABC+∠AFE=180°，只需证∠BAF+∠BEF=180°，只需证到∠BAF=∠FEC即可；
（3）由△AGF∽△BAF可得∠BAF=∠AGF，$\frac{FG}{AG}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{2}{3}$，易证△BGE∽△AGF，则有$\frac{GE}{BG}$=$\frac{GF}{AG}$=$\frac{2}{3}$，由条件∠PBG=$\frac{1}{2}$∠BAF可得∠PBG=$\frac{1}{2}$∠AGF，由此可得∠BPG=∠PBG，即可得到BG=PG，问题得以解决．

解答 解：（1）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF．
在△ABF和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABF=∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBF，
∴AF=CF．
∵点F在EC的垂直平分线上，
∴EF=CF，
∴AF=EF；

（2）∵△ABF≌△CBF，
∴∠BAF=∠BCF．
∵FE=FC，
∴∠FEC=∠FCE，
∴∠BAF=∠FEC．
∵∠BEF+∠FEC=180°，
∴∠BAF+∠BEF=180°．
∵∠BAF+∠ABE+∠BEF+∠AFE=360°，
∴∠ABE+∠AFE=180°．
∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA．
∵∠AFE+∠FAE+∠FEA=180°，
∴∠ABE=∠FAE+∠FEA=2∠FAE．
又∵∠ABE=2∠ABF，
∴∠FAE=∠ABF．
∵∠AFG=∠BFA，
∴△AGF∽△BAF；

（3）∵△AGF∽△BAF，
∴∠AGF=∠BAF，$\frac{FG}{FA}$=$\frac{AG}{BA}$．
∵∠PBG=$\frac{1}{2}$∠BAF，AB=3，AF=2，
∴∠PBG=$\frac{1}{2}$∠AGF，$\frac{FG}{2}$=$\frac{AG}{3}$，
∴∠BPG=∠PBG，$\frac{FG}{AG}$=$\frac{2}{3}$，
∴PG=BG，
∴$\frac{EG}{PG}$=$\frac{EG}{BG}$．
∵∠GAF=∠ABF=∠EBF，∠AGF=∠BGE，
∴△BGE∽△AGF，
∴$\frac{GE}{BG}$=$\frac{GF}{AG}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EG}{PG}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、多边形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，证到∠ABE+∠AFE=180°是解决第（2）小题的关键，证到BG=PG是解决第（3）小题的关键．