Question

17．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，若BC=2$\sqrt{3}$，AD=1，则S_{四边形AOCP}=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先在AC上截取AE=PA，易得△APE是等边三角形，继而利用证得△OPA≌△CPE，即可得AC=AO+AP；过点C作CH⊥AB于H，易得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，S_{四边形AOCP}=S_△ACP+S_△AOC=$\frac{1}{2}$AP•CH+$\frac{1}{2}$OA•CD=$\frac{1}{2}$AP•CH+$\frac{1}{2}$OA•CH=$\frac{1}{2}$CH•（AP+OA）=$\frac{1}{2}$CH•AC，即可得S_△ABC=S_{四边形AOCP}．

解答 解：如图1，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PE}\\{∠APO=∠CPE}\\{OP=CP\\;}\end{array}\right.$，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
如图2，过点C作CH⊥AB于H，
∵在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°，∠PAC=180°-∠BAC=60°，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，S_{四边形AOCP}=S_△ACP+S_△AOC=$\frac{1}{2}$AP•CH+$\frac{1}{2}$OA•CD=$\frac{1}{2}$AP•CH+$\frac{1}{2}$OA•CH=$\frac{1}{2}$CH•（AP+OA）=$\frac{1}{2}$CH•AC，
∵AB=AC，
∴S_{四边形AOCP}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．注意掌握辅助线的作法，通过证明△OPA≌△CPE得到AC=AO+AP是解题关键，注意数形结合思想的应用．此题综合性很强，难度较大．