Question

20．锐角三角形△ABC中，BA=AC，过点A的直线交BC边于点D，E、F是AD上两点，∠BEA=∠AFC且∠BEA与∠AFC都与∠BAC互补，猜想EF、BE、CF之间的关系并证明．

Answer 1

分析 猜想：BE=CF+EF．证明△ABE≌△ACF，得到BE=AF，AE=CF，由AF=AE+EF，即可得到BE=CF+EF．

解答 解：猜想：BE=CF+EF．
∵∠BEA与∠BAC互补，∠BEA+∠BED=180°，
∴∠BAC=∠BED，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∠BED=∠BAE+∠ABE（外角的性质），
∴∠ABE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAF}\\{∠BEA=∠AFC}\\{BA=AC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=AF，AE=CF，
∵AF=AE+EF，
∴BE=CF+EF．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ABE≌△ACF．