Question

已知直线y=-x+1交x，y轴于A，B两点，反比例函数y=

k

x

在第一象限内的图象上有点P，连AP，BP且四边形OAPB是正方形．
①求反比例函数的解析式；
②若动点P在双曲线上运动，作PM⊥x轴交AB于E点；PN⊥y轴交AB于F点．以下有两个结论：AF与BE的积不变，AF与BE的商不变，其中有一个是正确的，请选出正确的结论，并加以证明．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据直线的解析式即可求得A、B的坐标，进而求得P的坐标，代入y=

k

x

即可求得k的值，从而求得反比例函数的解析式；
（2）分两种情况讨论讨论即可证得．

解答：解：（1）由直线y=-x+1可知：A（1，0），B（0，1），
∵四边形OAPB是正方形，
∴P（1，1），
代入y=

k

x

即可求得k=1，
∴反比例函数的解析式为y=

1

x

．

（2）AF与BE的积不变；
如图a，当P运动到P的左侧P₁处时，设P₁（x，

1

x

），则M（1，

1

x

），

在等腰直角三角形FAM中，AM=

1

x

，则AF=

1

x

2

，
在等腰直角三角形NBE中，NB=x，则BE=x

2

，
所以AF与BE乘积=

1

x

2

•x

2

=2是定值．
如图b，当P运动到P的左侧P₂处时，设P₁（x，

1

x

），则N（1，

1

x

），M（x，1），

在等腰直角三角形BEM中，BM=x，则BE=x

2

，
在等腰直角三角形NBE中，NA=

1

x

，则FA=

1

x

2

，
所以AF与BE乘积=x

2

•

1

x

2

=2是定值．

点评：本题考查了反比例函数和一次函数的交点，以及反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质等，（2）确定出M的坐标是解题的关键．