Question

如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD≠CD，我们称这样的四边形为“半菱形”．小明说：“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”．他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论．

Answer 1

分析：易知点A，C在BD的垂直平分线上，那么AC垂直平分BD，把半菱形的面积用其中两个三角形的面积表示，可得到半菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．

解答：解：正确．
证明：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的中垂线上．
又∵CB=CD，
∴点C与在线段BD的中垂线上．
∴AC所在的直线是线段BD的中垂线，即BD⊥AC；
设AC，BD交于O．
∵S_△ABD=

1

2

BD•AO，S_△BCD=

1

2

BD•CO，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=

1

2

BD•AO+

1

2

BD•CO=

1

2

BD（AO+CO）=

1

2

BD•AC．

点评：解决本题的关键是得到AC与BD垂直，然后把所求四边形的面积进行分割求解．