Question

12．当x，y为整数时，多项式6x²-2xy²-4y-8的最小正值是4．

Answer 1

分析 首先6x²-2xy²-4y-8=t，根据x、y为整数得到只有当x是奇数，y是偶数时，3x²-xy²是奇数，令x=2m+1，y=2n，m、n均为整数得到3（2m+1）2-4n²（2m+1）-2y-5=0，化简得：6m²+6m-4mn²-2n²-2n-1=0，然后根据6m²+6m-4mn²-2n²-2n是偶数，1是奇数，得到原式的最小正值为4．

解答 解：令6x²-2xy²-4y-8=t，
∵x、y为整数，
∴t是偶数，
当x=0时，y=-3，t=4，
∴若t=2时，则原式的最小正值为2，
若t≠2，则原式的最小正值是4，
令t=2，则6x²-2xy²-4y-8=2，3x²-xy²-2y-5=0①，
∵2y+5是奇数，
∴若①式成立，3x²-xy²一定是奇数，
当x、y同为偶数或同为奇数时，3x²-xy²是偶数，
①式不成立；
当x是偶数，y是奇数时，3x²-xy²是偶数，
①式不成立；
综上，只有当x是奇数，y是偶数时，3x²-xy²是奇数，①式可能成立．
令x=2m+1，y=2n，m、n均为整数，
∴3（2m+1）2-4n²（2m+1）-2y-5=0，
化简得：6m²+6m-4mn²-2n²-2n-1=0，
∵6m²+6m-4mn²-2n²-2n是偶数，1是奇数，
∴t≠2，
∴原式的最小正值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了配方法的应用，解题的关键是讨论x、y的整数值使得式子有最小值，难度较大．