Question

9．小明遇到下面的问题：
求代数式x²-2x-3的最小值并写出取到最小值时的x值．
经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分析过程如下：
x²-2x-3
=x²-2x+1-3-1
=（x-1）²-4
所以，当x=1时，代数式有最小值是-4．
（1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题．
①x²-2x的最小值是-1
②x²-4x+y²+2y+5的最小值是0．
（2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下：
问题：当x为实数时，求x⁴+2x²+7的最小值．
解：∵x⁴+2x²+7
=x⁴+2x²+1+6
=（x²+1）²+6
∴原式有最小值是6
请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据题意可以将式子化为题目中例子中的形式，从而可以解答本题；
②根据题意可以将式子化为题目中例子中的形式，从而可以解答本题；
（2）根据题目中的式子可以得到小明的做法是否正确．

解答 解：（1）①x²-2x=x²-2x+1-1=（x-1）²-1，
∴当x=1时，代数式x²-2x有最小值是-1；
②x²-4x+y²+2y+5=x²-4x+4+y²+2y+1=（x-2）²+（y+1）²，
∴当x=2，y=-1时，代数式x²-4x+y²+2y+5有最小值是0，
故答案为：①-1，②0；
（2）小明的结论错误，
理由：∵x²+1=0时，x无解，
∴（x²+1）²+6最小值不是6，
∵x²≥0，
∴当x²=0时，（x²+1）²+6最小值是7．

点评 本题考查配方法的应用，解题的关键是明确题意，将题目中式子化成题目中例子的形式．