如图.在平面直角坐标系中A.AB=AC.且∠BAC=90°．(1)求C点坐标,(2)将△ABC沿x轴的正方向平移.在第一象限内B.C两点的对应点B′.C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式,的条件下.直线B′C′交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P.使得四边形PGMC′是平行四边形?如果存在.请求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，在平面直角坐标系中A（-2，0）、B（0，1），AB=AC，且∠BAC=90°．
（1）求C点坐标；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）作CN⊥x轴于点N，通过角的计算得出∠NAC=∠OBA，结合相等的直角以及AC=AB即可证出Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），进而得出ON和CN的长度，此题得解；
（2）设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，C′（c，2），根据平移的性质结合点B、C的坐标即可得出点B′的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、c的二元一次方程组，解方程组即可得出k、c值，由此即可得出反比例函数解析式与点B′、C′坐标，根据点B′、C′坐标利用待定系数法即可求出直线B′C′的解析式；
（3）假设存在，根据直线B′C′的解析式即可求出点G的坐标，设点M（t，0），根据平行四边形的性质即可得出点P的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的分式方程，解方程即可得出t值，将t值代入点M、P的坐标即可得出结论．

解答解：（1）作CN⊥x轴于点N，如图1所示．
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠OAB=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠NAC=∠OBA．
在Rt△CNA和Rt△AOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CNA=∠AOB}\\{∠NAC=∠OBA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
∴AN=BO=1，NO=NA+AO=3，CN=AO=2，
∴C点坐标为（-3，2）．
（2）设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∵C（-3，2），B（0，1），
∴设C′（c，2），则B′（c+3，1）．
∵点B′和C′在反比例函数图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2c}\\{k=c+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{k=6}\end{array}\right.$，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$．
∵c=3，
∴C′（3，2），B′（6，1），
设直线B′C′的解析式为y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{2=3m+n}\\{1=6m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线B′C′的解析式位y=-$\frac{1}{3}$x+3．
（3）假设存在，
令y=-$\frac{1}{3}$x+3中x=0，则y=3，
∴G（0，3），
设点M（t，0），则P（0+3-t，3+2-0），即（3-t，5），
∵点P在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上，
∴5=$\frac{6}{3-t}$，解得：t=$\frac{9}{5}$，
经检验t=$\frac{9}{5}$是方程5=$\frac{6}{3-t}$的解，
∴M（$\frac{9}{5}$，0），P（$\frac{6}{5}$，5）．
故存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形，点M的坐标为（$\frac{9}{5}$，0），点P的坐标为（$\frac{6}{5}$，5）．

点评本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及解分式方程，解题的关键是：（1）求出ON和CN的长度；（2）利用反比例函数图象上的坐标特征找出关于k、c的二元一次方程组；（3）利用反比例函数图象上点的坐标特征找出关于t的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程（或方程组）是关键．