Question

18．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A=B²，则称A是完全平方式，例如：a⁴=（a²）²、4a²-4a+1=（2a-1）²．
（1）下列各式中完全平方式的编号有①③④⑤；
①a⁶；②a²-ab+b²；③4a${\;}^{2}+2ab+\frac{1}{4}{b}^{2}$；④x²+4xy+4y²；⑤a²+a+0.25；⑥x²-6x-9．
（2）若x²+4xy+my²和x${\;}^{2}-nxy+\frac{1}{4}{y}^{2}$都是完全平方式，求（m-$\frac{1}{n}$）^-1的值；
（3）多项式9x²+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请列出所有可能的情况，直接写答案）

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；
（2）利用完全平方公式的结构特征求出m与n的值，即可确定出原式的值；
（3）利用完全平方公式的结构特征判断即可．

解答 解：（1）①a⁶=（a²）³；②a²-ab+b²，不是完全平方式；③4a²+2ab+$\frac{1}{4}$b²=（2a+$\frac{1}{2}$b）²；④x²+4xy+4y²=（x+2y）²；⑤a²+a+0.25=（a+$\frac{1}{2}$）²；⑥x²-6x-9，不是完全平方式
各式中完全平方式的编号有①③④⑤；
故答案为：①③④⑤；
（2）∵x²+4xy+my²和x²-nxy+$\frac{1}{4}$y²都是完全平方式，
∴x²+4xy+my²=（x+$\sqrt{m}$y）²，x²-nxy+$\frac{1}{4}$y²=（x±$\frac{1}{2}$y）²，
∴m=4，n=±1，
当n=1时，原式=$\frac{1}{3}$；当n=-1时，原式=$\frac{1}{5}$；
（3）单项式可以为-1，-9x²，6x，-6x或$\frac{81}{4}$x⁴．

点评 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．