Question

5．在锐角△ABC中，cosA=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{12}{13}$，BC=13，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{65}{2}$
• B． 30
• C． 78
• D． $\frac{315}{8}$

Answer 1

分析 根据cosA=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{12}{13}$，求出sinA、sinB、sinC，根据$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$求出c，再根据△ABC的面积为$\frac{1}{2}$acsinB代入计算即可．

解答 解：∵cosA=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{12}{13}$，
∴sinA=$\sqrt{1-cos{A}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，sinB=$\sqrt{1-cos{B}^{2}}$=$\frac{5}{13}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinA•cosB+sinB•cosA=$\frac{4}{5}$×$\frac{12}{13}$+$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{63}{65}$，
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{13}{\frac{4}{5}}$=$\frac{c}{\frac{63}{65}}$，
c=$\frac{63}{4}$，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×13×$\frac{63}{4}$×$\frac{5}{13}$=$\frac{315}{8}$；
故选：D．

点评 此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、正弦定理、同角三角函数的关系、三角形的面积公式，熟练掌握公式是关键．