Question

17．线段AB、CD交于O，若AB=CD，且AB⊥CD，求证：AC+BD＞$\sqrt{2}$AB．

Answer 1

分析 作?ABEC，连接DE，得到AC=BE，AB=CE=CD，由AB⊥CD，AB∥CE，得到△CED是等腰直角三角形，根据勾股定理求得DE=$\sqrt{2}CD$=$\sqrt{2}$AB，由三角形的三边关系得到结论．

解答 解：如图作?ABEC，连接DE，
∴AC=BE，
∴AB=CE=CD，
∵AB⊥CD，AB∥CE，
∴∠ECD=90°
∴△CED是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}CD$=$\sqrt{2}$AB，
在△BED中，BE+BD=AC+BD＞DE，
∴AC+BD＞$\sqrt{2}$AB．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．