题目内容
17．
抛物线y=x2+bx+c过点A（-2，-3），与y轴交于点B，对称轴是x=-1，请回答下列问题：（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减少？
（4）当x取何值时，y=0，y＞0，y＜0，
（5）当0＜x＜4时，求y的取值范围；
（6）在抛物线上是否存在点P，满足S△BOP=6？若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．
分析 （1）根据抛物线y=x2+bx+c过点A（-2，-3），对称轴是x=-1列出关于b、c的方程组，求出b、c的值，进而可得出结论；
（2）根据（1）中抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点，画出函数图象即可；
（3）根据抛物线开口向上，对称为直线x=-1即可得出结论；
（4）根据抛物线与x、y轴的交点即可得出结论；
（5）先求出x=0与x=4时y的值，进而可得出结论；
（6）设P（x，x2+2x-3），再由三角形的面积公式即可得出结论．
解答 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（-2，-3），对称轴是x=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}4-2b+c=-3\\-\frac{b}{2}=-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=-3\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3，顶点坐标为（-1，-4）；
（2）∵抛物线的解析式为y=x2+2x-3，
∴抛物线与x轴的交点为（-3，0），（1，0），
∴二次函数的图象如图所示．
（3）∵抛物线开口向上，对称为直线x=-1，
∴当x＜-1时，y随x的增大而减少；
当x取何值时，y=0，y＞0，y＜0，
（4）∵物线的解析式为y=x2+2x-3，
∴B（0，-3）．
∵抛物线与x轴的交点为（-3，0），（1，0），
∴当x=-3或x=1时，y=0；
当x＜-3或x＞1时，y＞0；
当-3＜x＜1时，y＜0．
（5）∵当x=0时，y=-3；当x=4时，y=21，
∴当0＜x＜4时，-3＜y＜21；
（6）存在．
设P（x，x2+2x-3），
∵B（0，-3），
∴OB=3，
∵S△BOP=6，
∴$\frac{1}{2}$×3|x|=6，解得x=±4，
当x=4时，P（4，21）；
当x=-4时，P（-4，5）．
综上所述，P（4，21）或（-4，5）．
点评 本题考查的是二次函数与不等式，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
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