Question

边长为6的正十边形的半径为

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：连接OA、0B，在OB上截取OM=AM，根据正多边形的性质、等腰三角形的性质和判定求出∠AOB=∠MAB，求出△OAB∽△ABM，得出关于R的方程，求出方程的解即可．

解答：解：设AB是圆内接正十边形的一条边，
则AB=6，
连接OA、0B，在OB上截取OM=AM，
∵∠AOB=

360°

10

=36°，
∴∠OAM=∠AOB=36°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=72°，
∴∠MAB=72°-36°=36°，
∴∠AMB=36°+36°=72°，
∴∠B=∠AMB，
∴AB=AM=OM=6，
设AO=OB=R，
即∠B=∠B，∠MAB=∠AOB，
∴△OAB∽△ABM，
∴

AB

BM

=

AO

AM

，
∴

6

R-6

=

R

6

，
解得：R=3+3

5

（负数舍去），
故答案为：3+3

5

．

点评：本题考查了正多边形和圆，相似三角形的性质和判定，正多边形的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是构造相似三角形，并进一步得出关于R的方程，难度适中．