Question

12．如图，在△ABD中，∠D=90°，点C在BD上，BC=2，AC=BD，$sin∠CAD=\frac{3}{5}$． 求：
（1）DC的长；
（2）cosB的值．

Answer 1

分析 （1）设AC=BD=x，在△ACD中，根据$sin∠CAD=\frac{3}{5}$求出$CD=\frac{3}{5}x$，根据BC=2得出方程x-$\frac{3}{5}$x=2，求出x即可；
（2）根据勾股定理求出AD、AB，解直角三角形求出即可．

解答 解：（1）设AC=BD=x，在△ACD中，∵$sin∠CAD=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{3}{5}$，即$CD=\frac{3}{5}x$．∴BC=x-$\frac{3}{5}$x=2，解得x=5，
∴CD=3；

（2）∵由（1）知CD=3，AC=5，
∴$AD=\sqrt{{5^2}-{3^2}}=4$，
在△ABD中，$AB=\sqrt{{4^2}+{5^2}}=\sqrt{41}$，
∴$cosB=\frac{BD}{AB}=\frac{5}{{\sqrt{41}}}=\frac{{5\sqrt{41}}}{41}$．

点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，能通过解直角三角形和勾股定理求出CD、AD、AB是解此题的关键，难度适中．