Question

18．如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上的一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF．
（1）试判断直线BF与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；
（3）当EF=4$\sqrt{2}$时，四边形ACBF为正方形．

Answer 1

分析 （1）根据EF∥AB，可以得到∠FAB和∠CAB的关系，可证得△ACB≌△AFB，可求得∠AFB=90°，可得出结论；
（2）根据四边形ADFE为菱形，通过变形可以得到∠CAB的度数；
（3）根据四边形ACBF为正方形，AC=4，AF⊥AE且AF=AE，利用勾股定理可求得EF的长

解答 解：
（1）BF与⊙A相切，理由如下：
∵EF∥AB，
∴∠AEF=∠CAB，∠AFE=∠FAB，
又∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAB=∠CAB}\\{AB=AB}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ABF（SAS）；
（2）连接CF，如右图所示，
若四边形ADFE为菱形，则AE=EF=FD=DA，
又∵CE=2AE，CE是圆A的直径，
∴CE=2EF，∠CFE=90°，
∴∠ECF=30°，
∴∠CEF=60°，
∵EF∥AB，
∴∠AEF=∠CAB，
∴∠CAB=60°，
故答案为：60°；
（3）若四边形ACBF为正方形，则AC=CB=BF=FA=4，且AF⊥AE，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．