Question

5．（1）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．
①求三角形点阵中前10行的点数和；
②若三角形点阵中前a行的点数之和为300，求a的值；
③三角形点阵中前b行的点数之和能是600吗？若能，求出b的值；若不能，请说明理由．
（2）拓展：若果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，
①求这个三角形点阵中前n行点数和（用含n的代数式表示）；
②这个三角形点阵中前n行点数和能是600吗？若能，求出n；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前10行共有（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）个点；
②前a行共有（1+2+3+4+5+…+a）个点，然后求它们的和，前a行共有$\frac{a（a+1）}{2}$个点，则$\frac{a（a+1）}{2}$=300，然后解方程得到a的值；
③由（1）得b（b+1）=600×2，求b的值即可；
（2）①根据2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×$\frac{n（n+1）}{2}$，求n的值即可进而得出即可；
②由①得n（n+1）=600，求n的值即可．

解答 解：（1）①三角形点阵中前10行的点数和为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55；
②由题意可得：1+2+3+4+5+…+a=300，即$\frac{a（a+1）}{2}$=300，
整理得a²+a-600=0，
（n+25）（n-24）=0，
∴a₁=-25，a₂=24，
∵a为正整数，
∴a=24；
③三角点阵中前b行的点数的和不能是600．理由如下：
依题意，得b（b+1）=600×2，
即b²+b-1200=0，
△=$\sqrt{{1}^{2}-4×1×（-1200）}$=$\sqrt{4801}$，无法开平方得出整数，
故三角点阵中前b行的点数的和不能是600；

（2）①这个三角形点阵中前n行点数和为：2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）；
②三角点阵中前n行的点数的和能是600．理由如下：
依题意，得n（n+1）=600，
即n²+n-600=0，
△=$\sqrt{{1}^{2}-4×1×（-600）}$=$\sqrt{2401}$=49，开平方得出整数，
故三角点阵中前n行的点数的和能是600．

点评 此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．