题目内容
19．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{2}{3}$x2+bx+c，经过A（0，-4）、它的对称轴为 x=-$\frac{7}{2}$，它与x轴相交于B、C．（1）求b、c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得对任意一点E，四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据A点坐标，可得c的值，根据对称轴公式，可得b的值；
（2）根据菱形的对称轴垂直且互相平分，可得D是抛物线的顶点；
（3）根据菱形的对角线垂直且互相平分，可得P是直线x=-3与抛物线y=-$\frac{2}{3}$x2-$\frac{14}{3}$x-4的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；根据正方形的对角线相等且互相平分、垂直，可得答案．
解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{2}{3}$x2+bx+c经过点A（0，-4），
∴c=-4．
对称轴x=-$\frac{b}{2×（-\frac{2}{3}）}$=-$\frac{7}{2}$，
解得b=-$\frac{14}{3}$；
（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，
又∵y=-$\frac{2}{3}$x2-$\frac{14}{3}$x-4=-$\frac{2}{3}$（x+$\frac{7}{2}$）2+$\frac{25}{6}$
∴抛物线的顶点（-$\frac{7}{2}$，$\frac{25}{6}$）即为所求的点D；
（3）当y=0时，-$\frac{2}{3}$x2-$\frac{14}{3}$x-4=0，解得x=-6或x=-1，即B（-6，0），
∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（-6，0），
点P必是直线x=-3与抛物线y=-$\frac{2}{3}$x2-$\frac{14}{3}$x-4的交点，
∴当x=-3时，y=-$\frac{2}{3}$×（-3）2-$\frac{14}{3}$×（-3）-4=4，
∴在抛物线上存在一点P（-3，4），使得四边形BPOH为菱形．
四边形BPOH不能成为正方形，
∵如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（-3，3），但这一点不在抛物线上，
四边形BPOH不能成为正方形．
点评 本题考查了二次函数综合题，利用了对称轴公式，菱形的性质：菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的性质：正方形的对角线相等且互相平分、垂直．
如图，E是线段AB中点，F是线段AE中点，已知图中所有线段的长度之和为52，求线段AE的长．
如图．AC，BD交于点O．图中共有8条线段，它们分别是CD，OC，OA，OD，OB，BD，AC，AB．| A． | 由4x=2x-1，得4x-2x=1 | B． | 由-2x=4，得x=2 | ||
| C． | 由5x-3=4，得5x=4-3 | D． | 由-3x-2=2x+3，得-3x-2x=3+2 |
如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别为（6，3），（2，5）
如图，P是等边△ABC的AB边上一点，过P作PE⊥AC于E，在BC的延长线上截取CQ=AP，连接PQ交AC于点D．
如图所示，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为（ ）| A． | $\frac{3}{2}$ | B． | 4 | C． | $\frac{5}{2}$ | D． | 1 |
已知二次函数y=ax2+b的图象与直线y=x+2相交于点A（1，m）和点B（n，0）．