Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，BC=CD=4cm，∠BAD=45°，过点A有两条动直线l₁和l₂从点A出发，且l₁⊥AD，l₂⊥AD，l₁以1cm/s的速度从点A出发沿AD方向移动，经过4秒后，l₂以2cm/s的速度沿AD方向移动，设l₁，l₂与梯形的边围成的图形的面积为S，设l₁移动的时间为t．
（1）AD=

 

；
（2）求S与t之间的函数关系式及S的最大值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）过点B作BE⊥AD，根据所给出的条件得出四边形BCDE是矩形，从而求出BE、DE，再根据∠BAD=45°，求出AE的值，即可得出答案，
（2）当0＜t≤2时，设l₁交AB于点F，交AD于点G，l₂交AB于点M，交AD于点N，根据l₁以1cm/s的速度从点A出发沿AD方向移动，l₁移动的时间为t，求出AG、FG，再根据经过4秒后，l₂以2cm/s的速度沿AD方向移动，求出AN、MN=2（t-4），从而求出NG，再根据梯形面积公式即可得出l₁，l₂与梯形的边围成的图形的面积为S=

1

2

[（2t-8）+t]（8-t）然后进行整理，当2＜t≤4时，设l₁交AB于点F，交AD于点G，l₂交AB于点M，交AD于点N，求出NG，再求出FG，最后根据矩形的面积公式列式计算即可．

解答：解：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为点E，
∵∠D=∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD=4，DE=BC=4，
∵∠BAD=45°，
∴AE=BE=4，
∴AD=4+4=8（cm），
故答案为；8cm，

（2）当0＜t≤2时，如图设l₁交AB于点F，交AD于点G，l₂交AB于点M，交AD于点N，
∵l₁以1cm/s的速度从点A出发沿AD方向移动，l₁移动的时间为t，
∴AG=FG=tcm，
∵经过4秒后，l₂以2cm/s的速度沿AD方向移动，
∴AN=MN=2（t-4）=（2t-8）cm，
∴NG=AG-AN=t-（2t-8）=（8-t）cm，
∴l₁，l₂与梯形的边围成的图形的面积为S=

1

2

[（2t-8）+t]（8-t）=（-

3

2

t²+16t-32）=（cm²），
∴S的最大值=

32

3

cm²，
当2＜t≤4时，如图设l₁交AB于点F，交AD于点G，l₂交AB于点M，交AD于点N，
则NG=AG-AN=t-（2t-8）=（8-t）cm，
∵FG=CD=4cm，
∴l₁，l₂与梯形的边围成的图形的面积为S=NG•FG=4（8-t）=（32-4t）（cm²）
∴S的最大值=32（cm²）．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是梯形矩形的面积、等腰直角三角形的性质、二次函数的最值，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况．