Question

20．已知正方形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的点，∠MDN=45°，延长BC至E，CE=AM，连接DE，MN，求证：NE=MN．

Answer 1

分析 利用已知条件和正方形的性质易证△DAM≌△DCE（SAS），所以可得DM=DE，∠ADM=∠CDE，进一步可得∠ADC=∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDE=∠MDE=90°，所以可证明∠MDN=∠NDE=45°，再由公共边DN=DN，进而可证明△DNM≌△DNE（SAS），由全等三角形的性质可得：NE=MN．

解答 证明∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠A=∠DCE=∠ADC=90°，
∵CE=AM，
∴在△DAM和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠A=∠DCE=90°}\\{AM=CE}\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△DCE（SAS），
∴DM=DE，∠ADM=∠CDE，
∵∠ADC=∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDE=∠MDE=90°，
∴∠MDN=∠NDE=45°，
又∵DN=DN，
∴在△DNM和△DNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DE}\\{∠MBN=∠NDE=45°}\\{DN=DN}\end{array}\right.$
∴△DNM≌△DNE（SAS），
∴NE=MN．

点评 本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．