Question

若⊙O的弦AB与⊙O的半径之比为

3

，则弦AB所对的圆周角等于

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,圆周角定理

专题：计算题

分析：作OC⊥AB于C，∠APB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，根据垂径定理得AC=BC，由于AB：OA=

3

：1，则AC：OA=

3

：2，在Rt△OAC中，根据余弦的定义可求出∠OAC=30°，则∠AOB=120°，然后根据圆周角定理得到∠APB=

1

2

∠AOB=60°，根据圆内接四边形的性质得到∠ADB=180°-∠APB=120°．

解答：解：作OC⊥AB于C，∠APB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∵AB：OA=

3

：1，
∴AC：OA=

3

：2，
在Rt△OAC中，cos∠OAC=

AC

OA

=

3

2

，
∴∠OAC=30°，
而OA=OB，
∴∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠APB=

1

2

∠AOB=60°，
∴∠ADB=180°-∠APB=120°，
即弦AB所对的圆周角等于60°或120°．
故答案为60°或120°．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．