Question

已知△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，P为边AB上一点，且△APC为等腰三角形，则CP的长为

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的判定,勾股定理的逆定理

专题：分类讨论

分析：首先根据勾股定理的逆定理判定△ACB是直角三角形，因为△APC为等腰三角形，其底和腰不确定，所以要分类讨论，再根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出CP的长．

解答：解：∵△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，
∴AB²=AC²+BC²=25，
∴△ACB是直角三角形，
当△APC为等腰三角形，AC，CP′可以是腰，
∴CP′=AC=3，
当△APC为等腰三角形，AC可以是底，作AC的垂直平分线即可，
∴DP=

1

2

BC=2，
设AP=x，则AP²=AD²+DP²，
∴x2=2²+1.5²=6.25，
∴AP=CP=2.5，
当AC为腰时同理可求出AC=

6 5

5

，
故答案为：3或2.5或

6 5

5

．

点评：本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意画出符合题意的几何图形，在画图时要不重不漏，还要分类讨论．