Question

2．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y₁=x²（x≥0）与y₂=$\frac{{x}^{2}}{5}$（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y₁于点D，直线DE∥AC，交y₂于点E，则$\frac{DE}{AB}$=5-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出BC的长度，再根据CD∥y轴，利用y₁的解析式求出D点的坐标，然后利用y₂求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．

解答 解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x²=a，解得x=$\sqrt{a}$，
∴点B（$\sqrt{a}$，a），$\frac{{x}^{2}}{5}$=a，
则x=$\sqrt{5a}$，
∴点C（$\sqrt{5a}$，a），
∴BC=$\sqrt{5a}$-$\sqrt{a}$．
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为$\sqrt{5a}$，
∴y₁=（$\sqrt{5a}$）²=5a，
∴点D的坐标为（$\sqrt{5a}$，5a）．
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为5a，
∴$\frac{{x}^{2}}{5}$=5a，
∴x=5$\sqrt{a}$，
∴点E的坐标为（5$\sqrt{a}$，5a），
∴DE=5$\sqrt{a}$-$\sqrt{5a}$，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{5\sqrt{a}-\sqrt{5a}}{\sqrt{a}}$=5-$\sqrt{5}$．
故答案是：5-$\sqrt{5}$．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．