Question

11．如图．在平面直角坐标系中，将一个等腰△ABC放在x轴上，C与O重合，AB=AC，A（-3，2）．将等腰△ABC沿x轴向右平移，使A点恰好落在双曲线y=$\frac{2}{x}$．

（1）求平移后B点、C的坐标；
（2）在y轴上是否存在-点P，使得△ABP的内心恰好在y轴上？若存在．请你求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图，M点的坐标为（1，t），过O、C、M三点作O₁．过O作0M的垂线交⊙O₁于点N，NK⊥x轴于点K，垂足为K．当t的值发生变化时 （t≠0）KN的长度的值是否改变？若不变，请求其值；若改变．请求其值变化的范围．

Answer 1

分析 （1）过点A作AH⊥OB于H，如图1，根据等腰三角形的性质得BH=OH=3，B（-6，0），由于点P平移纵坐标不变，则可确定平移后A点坐标为（1，2），然后根据平移的性质确定平移后B点坐标和C的坐标；
（2）作AM⊥y轴于M，如图1，根据三角形内心性质得∠BPM=∠APM，则可证明Rt△OPB∽△MPA，利用相似三角形的性质得$\frac{1}{2}$=$\frac{PO-2}{PO}$，解得OP=4，于是得到P点坐标为（0，4）；
（3）过M点作MQ⊥y轴于Q，ME⊥x轴于E，连结MN、CM，如图2，先证明Rt△OMQ∽Rt△ONK得到$\frac{QM}{NK}$=$\frac{OM}{ON}$，再证明Rt△OMN∽Rt△EMC得到$\frac{OM}{ME}$=$\frac{ON}{CE}$，即$\frac{OM}{ON}$=$\frac{ME}{CE}$，所以$\frac{QM}{NK}$=$\frac{ME}{CE}$，利用比例性质易得NK=$\frac{3}{t}$，所以NK的长度随t的变化而变化．

解答 解：（1）过点A作AH⊥OB于H，如图1，
∵AB=AC，
∴BH=OH=3，
∴B（-6，0）
当y=2时，$\frac{2}{x}$=2，解得x=1，即平移后A点坐标为（1，2），
∴等腰△ABC沿x轴向右平移了4个单位，
∴平移后B点坐标为（-2，0）、C的坐标为（4，0）；
（2）存在．
作AM⊥y轴于M，如图1，
∵△ABP的内心在y轴上
∴OP平分∠BPA，即∠BPM=∠APM，
∴Rt△OPB∽△MPA，
∴$\frac{AM}{OB}$=$\frac{PM}{PO}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{PO-2}{PO}$，解得OP=4，
∴P点坐标为（0，4）；
（3）KN的长度的值变化．
过M点作MQ⊥y轴于Q，ME⊥x轴于E，连结MN、CM，如图2，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，即∠MOK+∠NOK=90°，
而∠MOK+∠MOQ=90°，
∴∠MOQ=∠NOK，
∴Rt△OMQ∽Rt△ONK，
∴$\frac{QM}{NK}$=$\frac{OM}{ON}$，
∵∠MCE=∠MNO，
∴Rt△OMN∽Rt△EMC，
∴$\frac{OM}{ME}$=$\frac{ON}{CE}$，即$\frac{OM}{ON}$=$\frac{ME}{CE}$，
∴$\frac{QM}{NK}$=$\frac{ME}{CE}$，即$\frac{1}{NK}$=$\frac{t}{4-1}$，
∴NK=$\frac{3}{t}$，
当t变化时，NK的长度也发生变化．

点评 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质；理解坐标与图形性质；会运用相似三角形的求线段的长和判断线段之间的关系．