题目内容
如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=-| 1 |
| 3 |
（1）求m的值及直线BC的表达式；
（2）若点D 在该抛物线上，且四边形OBDC为矩形，求该抛物线的表达式；
（3）点E、F分别是线段AC、BC上的动点（点E不与点A、C重合），当∠BEF=∠BAO，且△BEF是等腰三角形时，求点E的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）首先求得直线与y轴的交点B的坐标，然后根据4OA=3OB求得线段OA的长，从而求得点A的坐标，代入已知直线即可求得m的值；然后根据翻折的性质得到点C的坐标，利用待定系数法确定直线BC的解析式即可；
（2）根据四边形OCDB为矩形和点B、C的坐标确定点D的坐标，根据已知的点A和点B的坐标利用待定系数法确定抛物线的解析式即可；
（3）首先证得△BEF∽△BCE，根据△BEF为等腰三角形，得到△BCE为等腰三角形，然后分当CE=CB=5时、当BE=BC时、当EC=EB时三种情况求得点E的坐标即可．
（2）根据四边形OCDB为矩形和点B、C的坐标确定点D的坐标，根据已知的点A和点B的坐标利用待定系数法确定抛物线的解析式即可；
（3）首先证得△BEF∽△BCE，根据△BEF为等腰三角形，得到△BCE为等腰三角形，然后分当CE=CB=5时、当BE=BC时、当EC=EB时三种情况求得点E的坐标即可．
解答：解：（1）将x=0代入直线y=-
mx+4，
解得：y=4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB=4
∵4OA=3OB，
∴OA=3
∴点A的坐标为（3，0），
∴把点（3，0）代入y=-
mx+4，
解得m=4，
由翻折可知，点C的坐标为（-3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点代入上式，得：
，
解得：
∴所求直线BC为y=
x+4；
（2）∵四边形OBDC为矩形，
∴点D的坐标为（-3，4），
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，
∴将点A（3，0），B（0，4），D（-3，4）分别代入y=ax2+bx+c，得：
解得：
，
∴抛物线的解析式为y=-
x2-2x+4；
（3）由（1）可知BC=BA
∴∠BCA=∠BAC，
而∠BEF=∠BAO，
∴∠BEF=∠BCO，
∴△BEF∽△BCE，
∵△BEF为等腰三角形，
△BCE为等腰三角形，
1、当CE=CB=5时，由OC=3，可知：OE=2，
∴E（2，0）；
2、当BE=BC时，有E与A重合，不合题意，舍去．
3、当EC=EB时，设点E（x，0），
则（x+3）2=x2+42，
解得x=
，
∴E（
，0）
综上，所求点E坐标为（2，0）或（
，0）．
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解得：y=4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB=4
∵4OA=3OB，
∴OA=3
∴点A的坐标为（3，0），
∴把点（3，0）代入y=-
| 1 |
| 3 |
解得m=4，
由翻折可知，点C的坐标为（-3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点代入上式，得：
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解得：
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∴所求直线BC为y=
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（2）∵四边形OBDC为矩形，
∴点D的坐标为（-3，4），
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，
∴将点A（3，0），B（0，4），D（-3，4）分别代入y=ax2+bx+c，得：
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解得：
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∴抛物线的解析式为y=-
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（3）由（1）可知BC=BA
∴∠BCA=∠BAC，
而∠BEF=∠BAO，
∴∠BEF=∠BCO，
∴△BEF∽△BCE，
∵△BEF为等腰三角形，
△BCE为等腰三角形，
1、当CE=CB=5时，由OC=3，可知：OE=2，
∴E（2，0）；
2、当BE=BC时，有E与A重合，不合题意，舍去．
3、当EC=EB时，设点E（x，0），
则（x+3）2=x2+42，
解得x=
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∴E（
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| 6 |
综上，所求点E坐标为（2，0）或（
| 7 |
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点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中还考查了待定系数法等知识，第三题中用到的分类讨论的数学思想更是中考的热点考题之一，难度较大．
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| x |
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