Question

【题目】如图，，的垂直平分线交于点，若，则下列结论正确是______（填序号）① ②是的平分线 ③是等腰三角形 ④的周长.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由△ABC中，∠A=36°，AB=AC，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得∠C的度数；又由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形，继而可求得∠ABD与∠DBC的度数，证得BD是∠ABC的平分线，然后由∠DBC=36°，∠C=72°，证得∠BDC=72°，易证得△DBC是等腰三角形，个等量代换即可证得④△BCD的周长=AB+BC．

∵△ABC中，∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C==72°，

故①正确；

∵DM是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=36°，

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，

∴∠ABD=∠DBC，

∴BD是∠ABC的平分线；

故②正确；

∵∠DBC=36°，∠C=72°，

∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，

∴∠BDC=∠C，

∴BC=BD，

∴△DBC是等腰三角形；

故③正确；

∵BD=AD，

∴△BCD的周长=BD+BC+CD=AC+BC=AB+BC，

故④正确；

故答案为：①②③④．