题目内容
【题目】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边上的点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB=12，AE=5，cos∠BFE=
，求矩形ABCD的周长．
【答案】（1）证明见解析（2）62
【解析】分析：（1）先求出
，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形
为平行四边形；
（2）由三角函数和勾股定理求出
，得出
，即可得出答案．
详解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC.AB=CD，
∵AE=CF，
∴DE=BF.
∴四边形BFDE是平行四边形。
(2)∵矩形ABCD，
∴
过点E作EG⊥BC于G.
∵
∴四边形ABGE是矩形，
∴AE=BG=5，AB=EG=12.
∵在Rt△EFG中,
∴
设FG=3x，EF=5x，
∴
∴x=3.
∴FG=3x=9，
∴BC=BG+FG+CF=5+9+5=19.
∴矩形ABCD的周长=19×2+12×2=62.
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