Question

5．y=ax²+bx+c过A（-3，0），B（1，0），顶点M（t，4），
（1）求a、b、c的值；
（2）C（-4，-6），D（1，-1），P在抛物线上位于x轴上方，求当S_△CDP最大时，P点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的纵坐标相等，利用二次函数的对称性求得顶点的横坐标，然后根据待定系数法即可求得．
（2）首先确定出直线DC解析式，当一条直线与直线DC平行，且与抛物线只有一个交点P时，△PCD面积最大，设出直线解析式，与抛物线解析式联立消去y，得到关于x的一元二次方程，且根的判别式等于0，求出m的值，即可确定出此时P的坐标．

解答 解：（1）∵点A（-3，0），B（1，0），
∴此抛物线的对称轴是直线x=$\frac{-3+1}{2}$=-1．
∴t=-1，
∴M（-1，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{a-b+c=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$；
（2）设直线DC解析式为y=kx+b，
将D与C坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=-6}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
故直线DC解析式为y=x-2，
设平行于直线DC，且与抛物线只有一个交点的直线方程为y=x+m，
此时直线与抛物线交于点P，使得△PCD的面积最大，
与二次函数解析式联立消去y得：-x²-2x+3=x+m，
整理得：x²+3x+m-3=0，
则△=9-4（m-3）=0，
解得：m=$\frac{21}{4}$，
故此时直线方程为y=x+$\frac{21}{4}$，
x²+3x+$\frac{9}{4}$=0
（x+$\frac{3}{2}$）²=0，
解得：x₁=x₂=-$\frac{3}{2}$，则y=$\frac{15}{4}$，
则点P坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及抛物线与x轴的交点，两直线平行时斜率满足的关系，解题的关键是：“平行于直线DC，且与抛物线只有一个交点的直线方程与抛物线交点为P，使得△PCD的面积最大”．