Question

在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足

a+3

c-b

=

a(a-1)

c-b

=k
①求证：k=

a2+3

2c

；
②求证：c＞b；
③当k=2时，证明：ab是△ABC最大边．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：（1）运用比例的有关性质将所给的代数式，恒等变形，即可解决问题．
（2）根据k＞0，结合c与k的关系，比较分析即可解决问题．
（3）根据题意，用a分别表示出b、c的值，灵活运用一元二次不等式的有关知识进行比较、分析、探究，即可解决问题．

解答：解析：（1）∵

a+3

c-b

=

a(a-1)

c+b

=k，
∴

c+b

c-b

=

a2-a

a+3

，
∴

2c

c-b

=

a2+3

a+3

，
∴

a+3

c-b

=

a2+3

2c

，
∴k=

a2+3

2c

．
（2）∵k=

a2+3

2c

＞0，而

a+3

c-b

=k，a+3＞0，
∴c-b＞0，c＞b．
（3）当k=2时，
∵

a+3

c-b

=

a2-a

b+c

=2，
∴

a+3=2c-2b① a2-a=2c+2b②

，
由①+②并解得：c=

a2+3

4

；
由②-①并解得：b=

a2-2a-3

4

；
∵b＞0，即

a2-2a-3

4

＞0，
解得：a＞3或 a＜-1（舍去）；
∵c-a=

a2-4a+3

4

=

(a-3)(a-1)

4

，且a＞3，
∴c-a＞0，c＞a；由（2）知c＞b，
∴AB是的△ABC最大边．

点评：本题主要考查了三角形的三边关系及其应用问题；同时还渗透了对一元二次不等式等重要代数知识的考查；解题的关键是深入分析式子的结构特点，大胆猜测推理，科学求解论证；对求解变形能力、综合运用能力等均提出了较高的要求．