Question

【题目】如图，在菱形中，点在对角线上，延长交于点.

（1）求证：；

（2）已知点在边上，请以为边，用尺规作一个与相似，并使得点在上.（只须作出一个，保留作图痕迹，不写作法）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；

【解析】

（1）根据菱形的性质可得：，再根据相似三角形的判定即可证出，从而得出结论；

（2）根据菱形的性质，可得DA=DC，从而得出∠DAC=∠DCA，可得只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，然后用尺规作图作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE即可.

解：（1）∵四边形是菱形，

∴.

∴.

∴.

（2）∵四边形是菱形

∴DA=DC

∴∠DAC=∠DCA

∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，

尺规作图如图所示：

①作∠CPQ=∠AEF，步骤为：以点E为圆心，以任意长度为半径，作弧，交EA和EF于点G、H，以P为圆心，以相同长度为半径作弧，交CP于点M，以M为圆心，以GH的长为半径作弧，两弧交于点N，连接PN并延长，交AC于Q，就是所求作的三角形；

②作∠CPQ=∠AFE，作法同上；

或

∴就是所求作的三角形（两种情况任选其一即可）.