Question

8．如图，在矩形ABCD中，BC=$\sqrt{2}$AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：
（1）∠AEB=∠AEH （2）DH=2$\sqrt{2}$EH
（3）OH=$\frac{1}{2}$AE （4）BC-BF=$\sqrt{2}$EH
其中正确命题的序号（　　）

• A． （1）（2）（3）
• B． （2）（3）（4）
• C． （2）（4）
• D． （1）（3）

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到AD=BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=$\sqrt{2}$CD，得到等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=67.5°，得到（1）正确；
（2）设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=$\sqrt{2}$，求出HE=$\sqrt{2}$-1，得到2$\sqrt{2}$HE≠1，所以（2）不正确；
（3）通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到（3）正确；
（4）由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC-BF=（BE+CE）-（AB-AF）=（CD+EH）-（CD-EH）=2EH，从而得到（4）不正确．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，AD=BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$CD，∠ADC=∠BCD=90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
∵AH⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD=$\sqrt{2}$AH，
∴AH=AB=CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
∴AD=DE，
∴∠AED=67.5°，
∴∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AEH=∠AEB，
所以（1）结论正确；
（2）设DH=1，
则AH=DH=1，AD=DE=$\sqrt{2}$，
∴HE=DE-DH=$\sqrt{2}$-1，
∴2$\sqrt{2}$HE=2$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1）=4-2$\sqrt{2}$≠1，
所以（2）结论不正确；
（3）∵∠AEH=67.5°，
∴∠EAH=22.5°，
∵DH=CD，∠EDC=45°，
∴∠DHC=67.5°，
∴∠OHA=180°-90°-67.5°=22.5°，
∴∠OAH=∠OHA=22.5°，
∴OA=OH，
∴∠AEH=∠OHE=67.5°，
∴OH=OE=OA，
∴OH=$\frac{1}{2}$AE，
所以（3）正确；
（4）∵AH=DH，CD=CE，
在△AFH与△CHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHF=∠HCE=22.5°}\\{∠FAH=∠HEC=45°}\\{AH=CE}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△CHE，
∴AF=EH，
在Rt△ABE与Rt△AHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠AHE=90°}\\{∠BEA=∠HEA}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AHE，
∴BE=EH，
∴BC-BF=（BE+CE）-（AB-AF）=（CD+EH）-（CD-EH）=2EH，
所以（2）不正确，
故选D．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．