如图.在等腰三角形ABC中.AB=AC.以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系.抛物线y=0.5x2-3.5x-4经过A.B两点．若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移.分别交线段OA.CA和抛物线于点E.M和点P.连结PA.PB．设直线l移动的时间为t秒.求四边形PBCA的面积S的函数关系式.并求出四边形PBCA的最大面积� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

20．

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=0.5x²-3.5x-4经过A、B两点．若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积．

分析设P（2t，2t²-7t-4），则M（2t，4-t），BC=8，PM=4-t-（2t²-7t-4）=-2t²+6t+8，AE=8-2t，根据S=S_梯形BCMP+S_△PMA，构建二次函数后，由函数的性质可求得S的最大值．

解答解：对于抛物线y=0.5x²-3.5x-4中，令y=0，得到0.5x²-3.5x-4=0解得x=-1或8，
∴A（8，0），B（0，-4），
∵AB=AC，OA⊥BC，
∴OB=OC，
∴C（0，4），
设直线AC的解析式为y=kx+b，由A（8，0），C（0，4）得到$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∵直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，时间为t，
∴OE=2t，设P（2t，2t²-7t-4），则M（2t，4-t），
∵BC=8，PM=4-t-（2t²-7t-4）=-2t²+6t+8，AE=8-2t，
S=S_梯形BCMP+S_△PMA=$\frac{1}{2}$•（-2t²+6t+8+8）×2t+$\frac{1}{2}$（8-2t）（-2t²+6t+8）=-8t²+32t+32=-8（t-2）²+64，
∵-8＜0，
∴t=2时，四边形PBCA的最大面积为64．

点评本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、四边形的面积、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分割法求四边形的面积，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型．

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