Question

8．已知：如图所示，CD是直角△ABC的斜边中线，过点D垂直于AB的直线交BC于点F，交AC的延长线于点E，求证：CD²=DF•DE．

Answer 1

分析 由CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，得出CD=DB，根据等边对等角得∠DCE=∠F，则可证明△CDE∽△FDC，得出对应边成比例，即可得出结论．

解答 证明：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠A+∠E=90°，
∴∠B=∠E，
∵CD是直角△ABC的斜边中线，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴∠B=∠DCF，
∴∠E=∠DCF，
又∵∠CDE=∠FDC，
∴△CDE∽△FDC，
∴$\frac{CD}{DF}=\frac{DE}{CD}$，
∴CD²=DF•DE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．