题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），以AB为直径在x轴的上方作半圆O，点C是该半圆上第一象限内的一个动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使BC=CD，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、线段AC于点E、F，E为垂足，连结OF．
（1）当∠CAB=30°时，求弧BC的长；
（2）当AE=6时，求弦BC的长；
（3）在点C运动的过程中，是否存在以点O、E、F为顶点的三角形与△DEB相似？若存在，请求出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）当∠CAB=30°时，求弧BC的长；
（2）当AE=6时，求弦BC的长；
（3）在点C运动的过程中，是否存在以点O、E、F为顶点的三角形与△DEB相似？若存在，请求出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）直接根据A、B两点的坐标求出AB的长，连接OC，再根据∠CAB=30°求出∠BOC的度数，由弧长公式即可得出结论；
（2）先根据相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DBE，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）设E（x，0），由（2）知
=
，2BC2=AB•BE，BD=2BC，再分△OEF∽△DEB与△FEO∽△DEB两种情况讨论即可．
（2）先根据相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DBE，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）设E（x，0），由（2）知
| AB |
| BC |
| DB |
| BE |
解答：
解：（1）∵点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），
∴AB=10．
连接OC，
∵∠CAB=30°，
∴∠BOC=60°，
∴
=
=
；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠AEF=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AC=90°，
∴∠DEB=∠ACB=∠AEF．
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠FAE=∠EDB，
∴△ABC∽△DBE，
∴
=
，
∵BC=CD，
∴
=
，解得BC=2
；
（3）设E（x，0），
∵
=
，
∴2BC2=AB•BE，即BC=
，
∴BD=2BC=2
．
当△OEF∽△DEB时，∠OFE=∠DBE，
∵∠AFE+∠EFC=180°，∠DBE+∠EFC=180°，
∴∠AFE=∠DBE，
∴∠OFE=∠AFE，
∵∠AFE＞∠OFE，
∴此种情况不成立；
当△FEO∽△DEB时，∠OFE=∠BDE=∠FAE，
∴△FAE∽△OFE∽△BDE，则
=
，
=
，即
=
，
∴y2=x2+5x①，
=
②，
①②联立得x=
，
∵E在x轴上，
∴E（
，0）．
当E在原点 的左侧时，EF垂直平分OA，此时E（-2.5，0）．
综上可得：E（
，0）或（-2.5，0）．
解：（1）∵点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），∴AB=10．
连接OC，
∵∠CAB=30°，
∴∠BOC=60°，
∴
 |
| BC |
| 60π×5 |
| 180 |
| 5π |
| 3 |
（2）∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠AEF=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AC=90°，
∴∠DEB=∠ACB=∠AEF．
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠FAE=∠EDB，
∴△ABC∽△DBE，
∴
| AB |
| BC |
| DB |
| BE |
∵BC=CD，
∴
| 10 |
| BC |
| 2BC |
| 10-6 |
| 5 |
（3）设E（x，0），
∵
| AB |
| BC |
| DB |
| BE |
∴2BC2=AB•BE，即BC=
| -5x+25 |
∴BD=2BC=2
| -5x+25 |
当△OEF∽△DEB时，∠OFE=∠DBE，
∵∠AFE+∠EFC=180°，∠DBE+∠EFC=180°，
∴∠AFE=∠DBE，
∴∠OFE=∠AFE，
∵∠AFE＞∠OFE，
∴此种情况不成立；
当△FEO∽△DEB时，∠OFE=∠BDE=∠FAE，
∴△FAE∽△OFE∽△BDE，则
| AE |
| EF |
| EF |
| OE |
| OF |
| BD |
| OE |
| BE |
| 5+x |
| y |
| y |
| x |
∴y2=x2+5x①，
| ||
2
|
| x |
| 5-x |
①②联立得x=
5
| ||
| 4 |
∵E在x轴上，
∴E（
5
| ||
| 4 |
当E在原点 的左侧时，EF垂直平分OA，此时E（-2.5，0）．
综上可得：E（
5
| ||
| 4 |
点评：本题考查的是圆的综合题，熟知相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质是解答此题的关键．
练习册系列答案
相关题目
x和5x的大小关系是（ ）
| A、x＜5x |
| B、x＞5x |
| C、x=5x |
| D、以上三个结论均有可能 |
如图，梯形ABCD中AD∥BC，∠B=90，P为DC上一点，PE⊥AB、PF⊥BC垂足分别为E、F，AD=1，AB=2，BC=5，BF=x，矩形EBFP面积为y，求y与x之间的函数关系式．
每个小正方形的边长为1．
如图所示，过正方形ABCD的顶点A作对角线BD的平行线，在这条直线上取一点E，使BD=ED，且DE与AB交于点F，证明：BE=BF．
已知正方形ABCD，点E是边AD上一点（点E与点A、D不重合），点F在CD的延长线上，并保持DF=DE，连接FE并延长交AB于点G，假设
已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E在AB上，DE⊥CE，DE延长线交BC延长线于F．