Question

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠CBD=30°，DE垂直平分AC，求证：AB=AD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过点A作AF⊥BC于F，过点C作CG⊥BD交BD的延长线于G，连接CD、EF、EG、FG，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF=

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BC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FG=

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BC，根据直角三角形两锐角互余求出∠BCG=60°，然后判断出△CFG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得FG=CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=CE=

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AC，再利用“边边边”证明△ECG和△EFG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EGC=∠EGF=30°，再求出点E、F、G、C四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等求出∠CDE=∠EGC=30°，然后求出∠ACD=60°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=CD，然后判断出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AD=AC，然后等量代换即可得证．

解答：证明：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点C作CG⊥BD交BD的延长线于G，连接CD、EF、EG、FG，
∵AB=AC，
∴BF=CF=

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BC，
∴FG=CF=

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BC，
∵∠CBD=30°，
∴∠BCG=90°-30°=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴FG=CG，∠CGF=60°，
∵DE垂直平分AC，
∴点E是AC的中点，
∴EF=CE=

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AC，
在△ECG和△EFG中，

EF=CE FG=CG EG=EG

，
∴△ECG≌△EFG（SSS），
∴∠EGC=∠EGF=

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∠CGF=

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×60°=30°，
∵∠BGC=∠CED=90°，
∴点E、D、G、C四点共圆，
∴∠CDE=∠EGC=30°，
∴∠ACD=90°-∠CDE=90°-30°=60°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，
∵AB=AC，
∴AB=AD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难点在于作辅助线构造出等边三角形和全等三角形，利用四点共圆求出∠CDE=30°是解题的关键．