Question

19．如图，已知等腰三角形△ABC，底角∠B=40°，CE是∠ACB的平分线，D是底边BC上一点，满足∠CAD=20°，若EF=1，则BE=1．

Answer 1

分析 在BC上取一点M，使CM=AC，连接EM，根据等腰三角形△ABC，底角∠B=40°得出∠BAC=100°，进一步得出∠EAF=100°-20°=80°，∠AEF=180°-100°-20°=60°，通过证得△ACE≌△MCE，得出AE=ME，∠CME=∠BAC=100°，∠AEF=∠CEM=60°从而得出∠EMB=EAF=80°，∠BEM=∠AEF=60°，根据ASA证得△AEF≌△MEB，得出EB=EF=1．

解答 解：在BC上取一点M，使CM=AC，连接EM，
∵等腰三角形△ABC，底角∠B=40°，
∴∠BAC=100°，∠ACB=∠B=40°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=∠BCE=20°，
∵∠CAD=20°，
∴∠EAF=100°-20°=80°，∠AEF=180°-100°-20°=60°，
在△ACE和△MCE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=MC}\\{∠ACE=∠MCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△MCE（SAS），
∴AE=ME，∠CME=∠BAC=100°，∠AEF=∠CEM=60°，
∴∠EMB=80°，∠BEM=60°，
∴∠EMB=EAF=80°，∠BEM=∠AEF=60°，
在△AEF和△MEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠MEB}\\{AE=EM}\\{∠EAF=∠EMB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△MEB（ASA），
∴EB=EF=1，
故答案为1．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平角的定义，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．