Question

3．如图，在△ABC中，AB=10$\sqrt{2}$，∠BAC=60°，∠B=45°，点D是BC边上一动点，连接AD，以AD为直径作⊙O交边AB、AC于点E、F，连接OE、OF、DE、DF、EF．
（1）求$\frac{EF}{OE}$的值；
（2）当AD运动到什么位置时，四边形OEDF正好是菱形，请说明理由．
（3）点D运动过程中，线段EF的最小值为5$\sqrt{3}$（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到DE=DF，有AD是⊙O的直径，得到∠DEA=90°，由三角形的内角和得到∠EDA=60°，推出△OED是等边三角形，得到ED=OE，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（3）由垂线的性质可知，当AD⊥BC时，直径AD最短，即⊙O最小，即EF由最小值，连接OE，OF，过O作OH⊥EF于H，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠BAC=60°，
∴∠EOF=120°，
∵OE=OF，
∴$\frac{EF}{OE}$=$\sqrt{3}$；
（2）当AD平分∠BAC时，四边形OEDF是菱形，
理由：∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，∠BAD=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DEA=90°，
∴∠EDA=60°，
∵OE=OD，
∴△OED是等边三角形，即ED=OE，
∴OE=OF=DE=DF，
∴四边形OEDF是菱形；
（3）由垂线的性质可知，
当AD⊥BC时，直径AD最短，即⊙O最小，即EF有最小值，
如图，过O作OH⊥EF于H，
在Rt△ADB中，
∵∠ABC=45°，AB=10$\sqrt{2}$，
∴AD=BD=10，
即此时，⊙O的直径为10，
∵∠EOH=$\frac{1}{2}$∠EOH=∠BAC=60°，
∴EH=OE•sin∠EOH=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
由垂径定理可得EF=2EH=5$\sqrt{3}$．
线段EF的最小值为5$\sqrt{3}$，
故答案为：5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的判定，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆．