Question

8．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=15，E、F分别为矩形外两点，DF=BE=4，AF=CE=3，则EF等于$\sqrt{394}$．

Answer 1

分析 延长FD交EC的延长线于点M，可证明△MEF是直角三角形，证明△ADF∽△DCM，得出对应边成比例求出CM=3DF=12，DM=3AF=9，得出MF=DF+DM=13，ME=CE+CM=15，在Rt△MEF中，由勾股定理即可求出EF的长．

解答 解：延长FD交EC的延长线于点M，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=15，BC=AD=5，∠BCD=∠ADC=90°，
∵AF=3，DF=4，
∴AF²+DF²=AD²=25
∴△ADF是直角三角形，∠AFD=90°，
同理可证△CBE是直角三角形，
∴∠ADF=∠CBE，∠DAF=∠BCE，∠ADF+∠DAF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ADF+∠BCE=90°
又∵∠ADF+∠CDM=90°，∠MCD+∠BCE=90°，
∴∠DMC+∠MCD=90°，∠ADF=∠MCD，
∴∠M=90°=∠AFD，
∴△ADF∽△DCM，
∴$\frac{DF}{CM}=\frac{AF}{CM}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$，
∴CM=3DF=12，DM=3AF=9，
∴MF=DF+DM=13，ME=CE+CM=15，
在Rt△MEF中，EF=$\sqrt{M{F}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}+1{5}^{2}}$=$\sqrt{394}$；
故答案为：$\sqrt{394}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，是一道非常不错的中考题目，证明出三角形△EMF是等腰直角三角形是解题的关键．