Question

18．如图，在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，点O为BC的中点，点P从点A出发，沿折线AC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与Rt△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）当点N落在BC上时，求t的值；
（2）当点O在正方形PQMN内部时，求t的数值范围；
（3）当点P在折线AC-CO上运动时，求S和t之间的函数关系式；
（4）设正方形PQMN对角线的交点为E，当直线CE平分△ABC面积时，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）可证△DPN∽△DQB，从而有$\frac{CP}{CQ}=\frac{PN}{QB}$，即可求出t的值．
（2）只需考虑两个临界位置（①MN经过点O，②点P与点O重合）下t的值，就可得到点O在正方形PQMN内部时t的取值范围．
（3）根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成三类，如图4、图5、图6，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式．
（4）由于点P在折线AC-CO-运动，当直线CE平分△ABC面积时，点E必在AB边的中线上，然后运用三角形相似，即可．

解答 解：（1）当点N落在BC上时，如图1．

∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN=PQ=t．
∴△CPN∽△CQB．
∴$\frac{CP}{CQ}=\frac{PN}{BQ}$，
∵PN=PQ=PA=t，CP=3-t，QB=AB=4，
∴$\frac{3-t}{3}=\frac{t}{4}$．
∴t=$\frac{12}{7}$；
（2）①如图2

则有QM=QP=t，MB=4-t．
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥CQ．
∵点O是CB的中点，MN∥AC，
∴OM是△ABC的中位线，
∴QM=BM．
∴t=4-t．
∴t=2．
②在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，
∴CB=5．
∵点O是CB的中点，
∴CO=$\frac{5}{2}$，
∴1×t=AC+CO=3+$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{11}{2}$，
∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜$\frac{11}{2}$；
（3）①当0＜t≤$\frac{12}{7}$时，如图3，

S=S_{正方形PQMN}=PQ²=PA²=t²．
②当$\frac{12}{7}$＜t≤3时，如图4，

∵tan∠ACB=$\frac{PG}{CP}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{PG}{3-t}=\frac{4}{3}$，
∴PG=4-$\frac{4}{3}$t，
∴GN=PN-PG=$\frac{7}{3}$t-4，
tan∠NFG=tan∠ACB=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{GN}{NF}=\frac{4}{3}$，
∴NF=$\frac{3}{4}$GN=$\frac{7}{4}$t-3，
∴S=S_{正方形PQMN}-S_△GNF
=t²-$\frac{1}{2}$×（$\frac{7}{3}$t-4）×（$\frac{7}{4}$t-3）
=-$\frac{25}{24}$t²+7t-6
③当3＜t≤$\frac{11}{2}$时，如图5，

∵四边形PQMN是正方形，
∴∠PQM=∠CAB=90°．
∴PQ∥AC．
∴△BQP∽△BAD．
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}=\frac{PQ}{AC}$，
∵BP=8-t，BC=5，BA=4，AC=3，
∴$\frac{8-t}{5}=\frac{BQ}{4}=\frac{PQ}{3}$，
∴BQ=$\frac{4（8-t）}{5}$，PQ=$\frac{3（8-t）}{5}$，
∴QM=PQ=$\frac{3（8-t）}{5}$，
∴BM=BQ-QM=$\frac{8-t}{5}$，
∵tan∠ABC=$\frac{FM}{BM}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{4}$，
∴FM=$\frac{3}{4}$BM=$\frac{3（8-t）}{20}$，
∴S=S梯形PQMF=$\frac{1}{2}$（PQ+FM）×QM
=$\frac{1}{2}$[$\frac{3（8-t）}{5}$+$\frac{3（8-t）}{20}$]×$\frac{3（8-t）}{5}$
=$\frac{9}{40}$t²-$\frac{18}{5}$t+$\frac{72}{5}$；
（4）如图6，

∵直线CN平分△ABC的面积，
∴点E在△ABC的边AB的直线上，
作EH∥AB，
∴$\frac{HE}{AG}=\frac{HC}{AC}$，
∵点G是AB中点，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=2，
由题意得，AP=t，AH=PH=HE=$\frac{1}{2}$t，HC=AC-AP+PH=3-t+$\frac{1}{2}$t=3-$\frac{1}{2}$t，
∴$\frac{\frac{1}{2}t}{2}=\frac{3-\frac{1}{2}t}{3}$，
∴t=$\frac{12}{5}$．

点评 本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、用割补法求五边形的面积，用临界值法求t的取值范围，分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度．