Question

已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动．当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动．

（1）求B点坐标；

（2）设运动时间为t秒；

①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；

②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；

③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动．在②的条件下，PM＋PN的长度也刚好最小，求动点P的速度．

 

Answer 1

 

（1）（10,9）

（2）

①6

②10   最小面积为54

③动点P的速度为个单位长度/ 秒

解析:解（1）作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形，∴OD=AB=10 

∴CD=OC－OD=12   ∴OA=BD==9 

∴B（10，9） ……2分

（2）①由题意知：AM=t，ON=OC－CN=22－2t   

∵四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半

∴  

∴t=6  …5分

②设四边形OAMN的面积为S，则   ……6分

∵0≤t≤10，且s随t的增大面减小

∴当t=10时，s最小，最小面积为54。…8分

③如图，取N点关于y轴的对称点N/，连结MN/交AO于点P，

此时PM＋PN=PM＋PN/=MN长度最小。    ……9分

当t=10时，AM=t=10=AB，ON=22－2t=2 

∴M（10，9），N（2，0）∴N/（－2，0）    ……10分

设直线MN/的函数关系式为，则

 解得                ……11分

∴P（0，） 

∴AP=OA－OP=

∴动点P的速度为个单位长度/ 秒   ……12分