题目内容
如图,已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
(3)连接EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_ST/images0.png)
【答案】分析:(1)根据OA、AB、OC的长,即可得到A、B、C三点的坐标,进而可用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)此题要通过构造全等三角形求解;过B作BM⊥x轴于M,由于∠EBF是由∠DBC旋转而得,所以这两角都是直角,那么∠EBF=∠ABM=90°,根据同角的余角相等可得∠EBA=∠FBM;易知BM=OA=AB=2,由此可证得△FBM≌△EBA,则AE=FM;CM的长易求得,关键是FM即AE的长;设抛物线的顶点为G,由于G点在线段AB的垂直平分线上,若过G作GH⊥AB,则GH是△ABE的中位线,G点的坐标易求得,即可得到GH的长,从而可求出AE的长,即可由CF=CM+FM=AE+CM求出CF的长;
(3)由(2)的全等三角形易证得BE=BF,则△BEF是等腰直角三角形,其面积为BF平方的一半;△BFC中,以CF为底,BM为高即可求出△BFC的面积;可设CF的长为a,进而表示出FM的长,由勾股定理即可求得BF的平方,根据上面得出的两个三角形的面积计算方法,即可得到关于S、a的函数关系式,根据函数的性质即可求出S的最小值及对应的CF的长.
解答:
解:
(1)由题意可得A(0,2),B(2,2),C(3,0),
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
则
,
解得
;
∴抛物线的解析式为y=-
+
x+2;
(2)设抛物线的顶点为G,
则G(1,
),过点G作GH⊥AB,垂足为H,
则AH=BH=1,GH=
-2=
;
∵EA⊥AB,GH⊥AB,
∴EA∥GH;
∴GH是△BEA的中位线,
∴EA=2GH=
;
过点B作BM⊥OC,垂足为M,则BM=OA=AB;
∵∠EBF=∠ABM=90°,
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF,
∴Rt△EBA≌Rt△FBM,
∴FM=EA=
;
∵CM=OC-OM=3-2=1,
∴CF=FM+CM=
;
(3)设CF=a,则FM=a-1,
∴BF2=FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5,
∵△EBA≌△FBM,
∴BE=BF,
则S△BEF=
BE•BF=
(a2-2a+5),
又∵S△BFC=
FC•BM=
×a×2=a,
∴S=
(a2-2a+5)-a=
a2-2a+
,
即S=
(a-2)2+
;
∴当a=2(在0<a<3范围内)时,S最小值=
.
点评:此题主要考查了二次函数解析式的确定、全等三角形的判定和性质以及三角形面积的求法等重要知识点,能够正确的将求图形面积最大(小)问题转换为二次函数求最值的问题是解答(3)题的关键.
(2)此题要通过构造全等三角形求解;过B作BM⊥x轴于M,由于∠EBF是由∠DBC旋转而得,所以这两角都是直角,那么∠EBF=∠ABM=90°,根据同角的余角相等可得∠EBA=∠FBM;易知BM=OA=AB=2,由此可证得△FBM≌△EBA,则AE=FM;CM的长易求得,关键是FM即AE的长;设抛物线的顶点为G,由于G点在线段AB的垂直平分线上,若过G作GH⊥AB,则GH是△ABE的中位线,G点的坐标易求得,即可得到GH的长,从而可求出AE的长,即可由CF=CM+FM=AE+CM求出CF的长;
(3)由(2)的全等三角形易证得BE=BF,则△BEF是等腰直角三角形,其面积为BF平方的一半;△BFC中,以CF为底,BM为高即可求出△BFC的面积;可设CF的长为a,进而表示出FM的长,由勾股定理即可求得BF的平方,根据上面得出的两个三角形的面积计算方法,即可得到关于S、a的函数关系式,根据函数的性质即可求出S的最小值及对应的CF的长.
解答:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/images0.png)
(1)由题意可得A(0,2),B(2,2),C(3,0),
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
则
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/0.png)
解得
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/1.png)
∴抛物线的解析式为y=-
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/2.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/3.png)
(2)设抛物线的顶点为G,
则G(1,
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/4.png)
则AH=BH=1,GH=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/5.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/6.png)
∵EA⊥AB,GH⊥AB,
∴EA∥GH;
∴GH是△BEA的中位线,
∴EA=2GH=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/7.png)
过点B作BM⊥OC,垂足为M,则BM=OA=AB;
∵∠EBF=∠ABM=90°,
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF,
∴Rt△EBA≌Rt△FBM,
∴FM=EA=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/8.png)
∵CM=OC-OM=3-2=1,
∴CF=FM+CM=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/9.png)
(3)设CF=a,则FM=a-1,
∴BF2=FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5,
∵△EBA≌△FBM,
∴BE=BF,
则S△BEF=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/10.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/11.png)
又∵S△BFC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/12.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/13.png)
∴S=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/14.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/15.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/16.png)
即S=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/17.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/18.png)
∴当a=2(在0<a<3范围内)时,S最小值=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211105045991150464/SYS201312111050459911504029_DA/19.png)
点评:此题主要考查了二次函数解析式的确定、全等三角形的判定和性质以及三角形面积的求法等重要知识点,能够正确的将求图形面积最大(小)问题转换为二次函数求最值的问题是解答(3)题的关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目