题目内容
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(1)求点B坐标;
(2)求S关于x的函数关系式;
(3)求出(2)中x的取值范围;
(4)当x为何值时,⊙P与AB、OB都相切.(要求直接写出结果)
分析:(1)在Rt△BCO中,利用含30°的直角三角形三边的关系得BC=
×4
=4,即可得到B点坐标;
(2)过B作BE⊥OA于E,根据切线的性质得到PQ⊥AB,易证Rt△APQ∽Rt△ABE,利用相似比可表示出AQ=
x,再根据S=梯形ABCO的面积-三角形APQ的面积即可得到
S关于x的函数关系式;
(3)过B作BF⊥AB交OA于F,求出x的最大值即BF的长,易得∴Rt△ABE∽Rt△AFB,利用相似比可求出BF,即可得到x的取值范围;
(4)根据切线的性质得到点P到BO和BA的距离都等于x,再利用S△PBO+S△PBA=S△ABO可关于x的方程,解方程即可.
| ||
3 |
3 |
(2)过B作BE⊥OA于E,根据切线的性质得到PQ⊥AB,易证Rt△APQ∽Rt△ABE,利用相似比可表示出AQ=
4
| ||
3 |
S关于x的函数关系式;
(3)过B作BF⊥AB交OA于F,求出x的最大值即BF的长,易得∴Rt△ABE∽Rt△AFB,利用相似比可求出BF,即可得到x的取值范围;
(4)根据切线的性质得到点P到BO和BA的距离都等于x,再利用S△PBO+S△PBA=S△ABO可关于x的方程,解方程即可.
解答:解:(1)∵BC∥OA,C(0,4
),∠BOC=30°,
∴OC=
BC,
∴BC=
×4
=4,
∴B点坐标为(4,4
);
(2)过B作BE⊥OA于E,如图,![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201111/36/d72e9279.png)
∵⊙P与AB边相切,
∴PQ⊥AB,
∴Rt△APQ∽Rt△ABE,
∴AQ:AE=PQ:BE,即AQ:16=x:4
,
∴AQ=
x,
∴S=
(4+20)•4
-
•x•
x
=-
x2+48
;
(3)AB=
=
=4
,
过B作BF⊥AB交OA于F,如图,
∴Rt△ABE∽Rt△AFB,
∴BF:BE=AB:AE,即BF:4
=4
:16,
∴BF=
.
∴x的取值范围为0<x≤
;
(4)OB=2BC=8,
∵⊙P与AB、OB都相切,
∴点P到BO和BA的距离都等于x,
而S△PBO+S△PBA=S△ABO,
∴
•x•8+
•x•4
=
•4
•20,
∴x=
.
3 |
∴OC=
3 |
∴BC=
| ||
3 |
3 |
∴B点坐标为(4,4
3 |
(2)过B作BE⊥OA于E,如图,
![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201111/36/d72e9279.png)
∵⊙P与AB边相切,
∴PQ⊥AB,
∴Rt△APQ∽Rt△ABE,
∴AQ:AE=PQ:BE,即AQ:16=x:4
3 |
∴AQ=
4
| ||
3 |
∴S=
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
4
| ||
3 |
=-
2
| ||
3 |
3 |
(3)AB=
BE2+AE2 |
(4
|
19 |
过B作BF⊥AB交OA于F,如图,
∴Rt△ABE∽Rt△AFB,
∴BF:BE=AB:AE,即BF:4
3 |
19 |
∴BF=
57 |
∴x的取值范围为0<x≤
57 |
(4)OB=2BC=8,
∵⊙P与AB、OB都相切,
∴点P到BO和BA的距离都等于x,
而S△PBO+S△PBA=S△ABO,
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
19 |
1 |
2 |
3 |
∴x=
4
| ||||
3 |
点评:本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了直角梯形的性质、含30°的直角三角形三边的关系、三角形的面积公式以及三角形相似的判定与性质.
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