题目内容
如图在平面直角坐标系中,已知直角梯形OABC的顶点分别是O(0,0),点A(9,0),B(6,4),C(0,4).点P从点C沿C-B-A运动,速度为每秒2个单位,点Q从A向O点运动,速度为每秒1个单位,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.两点同时出发,设运动的时间是t秒.(1)点P和点Q谁先到达终点?到达终点时t的值是多少?
(2)当t取何值时,直线PQ∥AB?并写出此时点P的坐标.(写出解答过程)
(3)是否存在符合题意的t的值,使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分?如
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(4)探究:当t取何值时,直线PQ⊥AB?(只要直接写出答案,不需写出计算过程).
分析:(1)求出BC,AB的长度,AQ的长度,即可求得从出发点到终点的时间;
(2)直线PQ∥AB时,BP=AQ,即可得到一个关于关于t的方程,即可求得t的值;
(3)首先求得四边形AOCB的面积,则四边形CPOQ的面积即可得到,根据面积公式即可得到关于t的方程,从而求解;
(4)直线PQ⊥AB,则直线PQ与直线AB的斜率互为负倒数,据此即可求得t的值.
(2)直线PQ∥AB时,BP=AQ,即可得到一个关于关于t的方程,即可求得t的值;
(3)首先求得四边形AOCB的面积,则四边形CPOQ的面积即可得到,根据面积公式即可得到关于t的方程,从而求解;
(4)直线PQ⊥AB,则直线PQ与直线AB的斜率互为负倒数,据此即可求得t的值.
解答:解:(1)AB=5,BC+BA=11,OA=9,
=5.5,
∴点P先到达终点,到达终点时t的值为5.5秒.
(2)假设PQ∥AB,又CB∥OA,
∴四边形AQPB为平行四边形,
∴PB=AQ,即t=6-2t,
解得t=2,
则当t=2时,PQ∥AB,CP=2×2=4,
此时点P的坐标(4,4);
(3)不存在.
当使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分,
当点P在线段BC上时:
即
(PC+OQ)×CO=15,
(9-t+2t)×4=15,
得t=-1.5不合题意,
当点P在线段AB上时:AP=11-2t,
作BD⊥OA,PE⊥OA,则△APE∽△ABD,
=
,即
=
,解得PE=
(11-2t),![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201208/33/fca83b8c.png)
×
(11-2t)•t=15,
即4t2-22t+75=0,方程没有实数根.
所以不存在符合题意的t的值,使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分;
(4)作BD⊥OA交OA于D.
易证△ABD∽△AQP.![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201208/29/ac201ad6.png)
∴AD:AP=AB:AQ.
∴3:(11-2t)=5:t
∴3t=55-10t,
解得t=
.
∴当t=
时直线PQ⊥AB.
11 |
2 |
∴点P先到达终点,到达终点时t的值为5.5秒.
(2)假设PQ∥AB,又CB∥OA,
∴四边形AQPB为平行四边形,
∴PB=AQ,即t=6-2t,
解得t=2,
则当t=2时,PQ∥AB,CP=2×2=4,
此时点P的坐标(4,4);
(3)不存在.
当使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分,
当点P在线段BC上时:
即
1 |
2 |
1 |
2 |
得t=-1.5不合题意,
当点P在线段AB上时:AP=11-2t,
作BD⊥OA,PE⊥OA,则△APE∽△ABD,
PE |
BD |
AP |
AB |
PE |
4 |
11-2t |
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即4t2-22t+75=0,方程没有实数根.
所以不存在符合题意的t的值,使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分;
(4)作BD⊥OA交OA于D.
易证△ABD∽△AQP.
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∴AD:AP=AB:AQ.
∴3:(11-2t)=5:t
∴3t=55-10t,
解得t=
55 |
13 |
∴当t=
55 |
13 |
点评:此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质,利用数形结合得出相似三角形是解题关键.
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