Question

如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）根据OA、AB、OC的长，即可得到A、B、C三点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）此题要通过构造全等三角形求解；过B作BM⊥x轴于M，由于∠EBF是由∠DBC旋转而得，所以这两角都是直角，那么∠EBF=∠ABM=90°，根据同角的余角相等可得∠EBA=∠FBM；易知BM=OA=AB=2，由此可证得△FBM≌△EBA，则AE=FM；CM的长易求得，关键是FM即AE的长；设抛物线的顶点为G，由于G点在线段AB的垂直平分线上，若过G作GH⊥AB，则GH是△ABE的中位线，G点的坐标易求得，即可得到GH的长，从而可求出AE的长，即可由CF=CM+FM=AE+CM求出CF的长；
（3）由（2）的全等三角形易证得BE=BF，则△BEF是等腰直角三角形，其面积为BF平方的一半；△BFC中，以CF为底，BM为高即可求出△BFC的面积；可设CF的长为a，进而表示出FM的长，由勾股定理即可求得BF的平方，根据上面得出的两个三角形的面积计算方法，即可得到关于S、a的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最小值及对应的CF的长．

解答：解：（1）由题意可得A（0，2），B（2，2），C（3，0），
设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
则

c=2 4a+2b+c=2 9a+3b+c=0

，
解得

a=- 2 3 b= 4 3 c=2

；
∴抛物线的解析式为y=-

2

3

x2+

4

3

x+2；

（2）设抛物线的顶点为G，
则G（1，

8

3

），过点G作GH⊥AB，垂足为H，
则AH=BH=1，GH=

8

3

-2=

2

3

；
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH；
∴GH是△BEA的中位线，
∴EA=2GH=

4

3

；
过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM=OA=AB；
∵∠EBF=∠ABM=90°，
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF，
∴Rt△EBA≌Rt△FBM，
∴FM=EA=

4

3

；
∵CM=OC-OM=3-2=1，
∴CF=FM+CM=

7

3

；

（3）设CF=a，则FM=a-1，
∴BF²=FM²+BM²=（a-1）²+2²=a²-2a+5，
∵△EBA≌△FBM，
∴BE=BF，
则S_△BEF=

1

2

BE•BF=

1

2

（a²-2a+5），
又∵S_△BFC=

1

2

FC•BM=

1

2

×a×2=a，
∴S=

1

2

（a²-2a+5）-a=

1

2

a²-2a+

5

2

，
即S=

1

2

（a-2）²+

1

2

；
∴当a=2（在0＜a＜3范围内）时，S_最小值=

1

2

．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、全等三角形的判定和性质以及三角形面积的求法等重要知识点，能够正确的将求图形面积最大（小）问题转换为二次函数求最值的问题是解答（3）题的关键．