Question

17．如图所示，在△ABC中，∠A为锐角，CD为AB边上的高，$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，AB+AC=6，设AC=x，△ABC的面积为y．
（1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当AC长度为何值时，△ABC的面积最大？

Answer 1

分析 （1）由$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，AC=x，求得CD=$\frac{3x}{5}$，由AB+AC=6，AC=x，求得AB=6-x，然后根据三角形的面积公式即可得到结果；
（2）根据y=-$\frac{3}{10}{x}^{2}$+$\frac{9}{5}$x=-$\frac{3}{10}$（x-3）²+$\frac{27}{10}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，AC=x，
∴CD=$\frac{3x}{5}$，
∵AB+AC=6，AC=x，
∴AB=6-x，
∴y=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$（6-x）×$\frac{3x}{5}$，
∴y=-$\frac{3}{10}{x}^{2}$+$\frac{9}{5}$x，（0＜x＜6）；

（2）∵y=-$\frac{3}{10}{x}^{2}$+$\frac{9}{5}$x=-$\frac{3}{10}$（x-3）²+$\frac{27}{10}$，
∴当x=3时，y_最大值=$\frac{27}{10}$，
即：当AC=3时，△ABC的面积最大．

点评 本题考查了三角形的面积，二次函数的最值，熟记三角形的面积公式是解题的关键．