Question

3．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，且∠EAC+∠ACE=90°．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，当直角顶点E点移动时，写出∠BAE与∠ECD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？写出结论，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线定义得出∠ACD=2∠ACE，∠BAC=2∠EAC，求出∠ACD+∠BAC=180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠BAE=∠AFC，求出∠AEC=∠AFC+∠ECD=90°，即可得出答案；
（3）根据平行线的性质得出∠BAC=∠ACG，根据三角形外角性质得出∠ACG=∠CPQ+∠CQP，即可得出答案．

解答 解：（1）AB∥CD，
理由：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠ACD=2∠ACE，∠BAC=2∠EAC，
又∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∴AB∥CD；

（2）∠BAE+∠ECD=90°，
理由：延长AE交CD于点F，

∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠AFC，
∵∠AEC是△EFC的一个外角，
∴∠AEC=∠AFC+∠ECD=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°；

（3）∠CPQ+∠CQP=∠BAC，
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACG，
∵∠ACG是△PCQ的一个外角，
∴∠ACG=∠CPQ+∠CQP，
∴∠CPQ+∠CQP=∠BAC．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．